Теория по теме "Уравнения" для ЕГЭ по профильной математике

1. Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, содержащее переменную (неизвестное), которое требуется решить, то есть найти все значения переменной, обращающие его в верное числовое равенство. Такие значения называются корнями уравнения. Решение уравнения заключается в нахождении всех его корней или доказательстве их отсутствия.

Уравнения бывают алгебраические (связанные с многочленами, дробями, корнями) и трансцендентные (показательные, логарифмические, тригонометрические). В зависимости от степени многочлена уравнения делятся на линейные, квадратные, кубические и т. д.

2. Линейные уравнения

Простейший вид уравнений — линейные, имеющие общий вид:

\[ ax + b = 0 \]

Алгоритм решения:

  • Переносим \( b \) в правую часть: \( ax = -b \).
  • Делим обе части на \( a \) (при \( a \neq 0 \)): \( x = -\frac{b}{a} \).

Если \( a = 0 \), уравнение принимает вид \( 0 \cdot x = -b \). В этом случае:

  • При \( b \neq 0 \) корней нет.
  • При \( b = 0 \) уравнение имеет бесконечно много решений (любое \( x \) является корнем).

3. Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет стандартный вид:

\[ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 \]

Способы решения:

  1. Через дискриминант:
    \[ D = b^2 - 4ac \]
    - Если \( D > 0 \), два корня:
    \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
    - Если \( D = 0 \), один корень:
    \[ x = -\frac{b}{2a} \]
    - Если \( D < 0 \), действительных корней нет.
  2. Теорема Виета (для приведённого уравнения \( x^2 + px + q = 0 \)):
    \[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q \]
    Позволяет находить корни подбором.
  3. Выделение полного квадрата (метод дополнения до квадрата).

4. Рациональные уравнения

Это уравнения, содержащие дроби с многочленами в числителе и знаменателе.

Алгоритм решения:

  • Перенести все слагаемые в одну часть.
  • Привести к общему знаменателю.
  • Решить получившееся уравнение \( P(x) = 0 \).
  • Исключить корни, обращающие знаменатель в ноль (проверить ОДЗ).

5. Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие корни (радикалы).

Основные методы:

  • Возведение в степень (если корень один):
    \[ \sqrt{f(x)} = g(x) \Rightarrow f(x) = g^2(x), \quad g(x) \geq 0 \]
  • Замена переменной (если корни сложные).
  • Учёт ОДЗ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным).

После решения обязательна проверка корней, так как возведение в квадрат может привести к посторонним решениям.

6. Показательные уравнения

Уравнения вида \( a^{f(x)} = b \), где \( a > 0, a \neq 1 \).

Основные методы:

  • Приведение к одинаковому основанию:
    \[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) \]
  • Логарифмирование (если основания разные):
    \[ a^{f(x)} = b \Rightarrow f(x) = \log_a b \]
  • Замена переменной (если уравнение сложное).

7. Логарифмические уравнения

Уравнения вида \( \log_a f(x) = b \).

Алгоритм решения:

  • Учесть ОДЗ: \( f(x) > 0, a > 0, a \neq 1 \).
  • Перейти от логарифма к показательной форме:
    \[ \log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b \]
  • Решить получившееся уравнение.

Если уравнение содержит несколько логарифмов, можно использовать свойства логарифмов (сумма, разность, степень) или замену переменной.

8. Тригонометрические уравнения

Уравнения, содержащие \( \sin x, \cos x, \tg x, \ctg x \).

Основные виды и решения:

  • \[ \sin x = a \quad (|a| \leq 1) \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \]
  • \[ \cos x = a \quad (|a| \leq 1) \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n \]
  • \[ \tg x = a \Rightarrow x = \arctg a + \pi n \]

Методы решения сложных уравнений:

  • Разложение на множители.
  • Замена переменной.
  • Однородные уравнения.
  • Универсальная тригонометрическая подстановка.

9. Уравнения с модулем

Уравнения вида \( |f(x)| = g(x) \).

Алгоритм решения:

\[ \begin{cases} f(x) = g(x), & f(x) \geq 0 \\ -f(x) = g(x), & f(x) < 0 \end{cases} \]

Решить каждое уравнение отдельно. Проверить, удовлетворяют ли корни условиям раскрытия модуля.

10. Уравнения с параметрами

Уравнения вида \( f(x, a) = 0 \), где \( a \) — параметр.

Методы решения:

  • Аналитический (выразить \( x \) через \( a \)).
  • Графический (построить графики для разных значений параметра).
  • Исследование количества корней в зависимости от \( a \).

11. Общие рекомендации

  • Всегда учитывать область допустимых значений (ОДЗ).
  • Проверять корни подстановкой (особенно в иррациональных, логарифмических уравнениях).
  • Использовать замену переменной для упрощения сложных уравнений.
  • В параметрических уравнениях анализировать все возможные случаи.